5:51 am - Wednesday July 30, 2014

Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 tỉnh Long An năm 2013

Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 tỉnh Long An

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 12 TỈNH LONG AN

Thời gian làm bài 180 phút

Câu I (5,0 điểm).

1. Giải phương trình x^2+6x+1=\left(2x+1 \right)\sqrt{x^2+2x+3}

2. Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^3+2x^2=5-2y \\ \left(15-2x \right)\sqrt{6-x}-\left(4y+9 \right)\sqrt{2y+3}=0 \end{matrix}\right.

Câu II (5,0 điểm).

1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A, cạnh AB và BC lần lượt nằm trên các đường thẳng x – 2y + 1 = 0, x – y = 0. Tìm toạ độ các đỉnh A và C biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 5\sqrt{2}.

2. Cho tam giác ABC, gọi D là điểm đối xứng của C qua AB, vẽ đường tròn tâm D qua A và B. Gọi M là điểm bất kì trên đường tròn đó. Chứng minh rằng MA^2+MB^2=MC^2.

Câu III (4,0 điểm).

Cho số thực \alpha \in \left(0;1 \right), xét dãy số \left(u_{n} \right) với

\left\{\begin{matrix}u_{1}=\alpha \\ u_{n+1}=\frac{1}{2014}u_{n}^{2}+\frac{2013}{2014}\sqrt{u_{n}} \end{matrix}\right.

1. Chứng minh rằng 0<u_{n}<1

2. Chứng minh rằng dãy số \left(u_{n} \right) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Câu IV (3,0 điểm). Cho ba số thực dương a,b,c thoả mãn \frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\geq 1. Chứng minh rằng abc\leq 1.

Câu V (3,0 điểm).
Cho phương trình \sqrt{21+4x-x^2}-\frac{3}{4}x+3=m\left(\sqrt{x+3}+2\sqrt{7-x} \right). Tìm m để phương trình có nghiệm.

————————————– Hết ————————————–

Filed in: Lớp 12, Đề thi học sinh giỏi

No comments yet.

Leave a Reply

You must be logged in to post a comment.