2:11 pm - Sunday September 23, 3764

Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Tiền Giang năm học 2013-2014

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014
MÔN TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1:
1. Trục căn thức ở mẫu: \frac{1}{1+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}}
2. Giải phương trình và hệ phương trình:
a. \sqrt{3x-5}+ \sqrt{7-3x}=9x^{2}-36x+38

b. \left\{\begin{matrix}\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=2 &&\\\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}=4& & \end{matrix}\right.

Câu 2:
1. Trong mặt phẳng \mathit{Oxy}, cho parabol (\mathit{P}): \mathit{y=-x^{2}} và đường thẳng (\mathit{d}) đi qua điểm \mathit{I(0;1)} có hệ số góc k (k \in\mathbb{R})
a. Chứng minh rằng (\mathit{d}) luôn cắt (\mathit{P}) tại hai điểm phân biệt \mathit{A}\mathit{B} với mọi k \in\mathbb{R}.
b. Chứng minh rằng tam giác \mathit{OAB} vuông. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác \mathit{OAB}.
2. Giả sử phương trình ax^{2}+bx+cx=0 có hai nghiệm x_{1}x_{2}.
Đặt S_{n}=x_{1}^{n}+x_{1}^{n} (n\in\mathbb{N}). Chứng minh rằng aS_{n+2}+bS_{n+1}+cS_{n}=0 với mọi n\in\mathbb{N}.
Áp dụng: Tính \left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{7}+\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{7}

Câu 3:

1. Cho \mathit{x,y>0}. Chứng minh rằng: \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}
2. Cho \mathit{a,b,c>0}. Chứng minh rằng: \frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{2a+b+c}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \mathit{P}=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}

Câu 4:

1. Tìm tất các số nguyên tố \mathit{a,b,c} sao cho \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1
2. Chứng mình rằng trong 5 số nguyên tố bất kì luôn chọn được 3 số có tổng chia hết cho 3.

Câu 5:
Cho tam giác \mathit{ABC} cố đinh, cân tại \mathit{A} nội tiếp đường tròn (\mathit{O};\mathit{R}), \mathit{M} là điểm di động trên đoạn thẳng \mathit{BC} (\mathit{M} khác \mathit{B}\mathit{C}). Vẽ đường tròn tâm \mathit{D} qua \mathit{M} và tiếp xúc với \mathit{AB} tại \mathit{B}. Vẽ đường tròn tâm \mathit{E} qua \mathit{M} tiếp xúc với \mathit{AC} tại \mathit{C}. Gọi \mathit{N} là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (\mathit{D}) và (\mathit{E}).
1. Chứng minh rằng: \mathit{N} thuộc đường tròn (\mathit{O};\mathit{R}) và \mathit{A},\mathit{M},\mathit{N} thẳng hàng.
2. Chứng mình rằng: \mathit{MB}.\mathit{MC}=\mathit{R}^{2}-\mathit{OM}^{2}.
3. Xác định vị trí điểm \mathit{M} sao cho \mathit{MA}.\mathit{MN} đạt giá trị nhỏ nhất.
4. Gọi \mathit{I} là trung điểm của đoạn thẳng \mathit{DE}. Chứng minh rằng: diện tích tam giác \mathit{IBC} không đổi.

——————————— Hết ———————————

Gợi ý giải 1 số bài (Tham khảo)

câu 1
1, Ta có \frac{1}{1+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}}=\frac{\sqrt[3]{3}-1}{(\sqrt[3]{3}-1)(1+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})}=\frac{\sqrt[3]{3}-1}{2}
2a) VT \leq \frac{3x-5+1}{2}+\frac{7-3x+1}{2}=2
VP=9(x-2)^2+2 \geq 2
\Rightarrow VT=VP \Leftrightarrow x=2
2b) hệ phương trình
ĐK: x;y\geq 1
Hệ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}+\sqrt{y+2}+\sqrt{y-1}=6 & & \\ \sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}+\sqrt{y+2}-\sqrt{y-1}=2 & & \end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}+\sqrt{y+2}+\sqrt{y-1}=6 & & \\ \frac{3}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}}+\frac{3}{\sqrt{y+2}+\sqrt{y-1}}=2 & & \end{matrix}\right.
Đặt: u=\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1};v=\sqrt{y+2}+\sqrt{y-1} (u;v\geq 0)
Thu đc \left\{\begin{matrix} u+v=6 & & \\ \frac{3}{u}+\frac{3}{v}=2 & & \end{matrix}\right.
Dùng phương pháp thế giải hệ này ta đc u=v=3
Từ đây ta tìm đc nghiệm (x;y)=(2;2)

Câu 3
2) Áp dụng BĐT ở câu 1 ta có:
frac{1}{a+b+2c}=\frac{1}{(a+c)+(b+c)}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c})
Tương tự ta có: \frac{1}{a+2b+c}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c})
\frac{1}{2a+b+c}\leq \frac{1}{16}(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})
Công vế với vế của các BĐT cùng chiều ta đc
\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{2a+b+c}\leq \frac{1}{16}(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c})=\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Câu 4
1) Xét a,b,c> 3\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}< \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}< 1
Các bạn giải tiếp, chú ý a,b,c cùng tính chẵn lẻ
2) xét 1 số khi chia cho 3 sẽ có 3 trường hợp
chia 3 dư 1
chia 3 dư 2
chia hết cho 3
nhận thấy chỉ có 1 số nguyên tố chia hết cho 3 đó là số 3 nên ta xét 2 trường hợp có 3 và không có 3
*với trường hợp không có 3
số nguyên tố chia 3 sẽ có 2 số dư là 1 hoặc 2 nhận thấy 5=2.2+1 nên tồn tại 3 số chia cho 3 có cùng 1 số dư tổng của 3 số này chia hết cho 3
*với trường hợp có 3
chọn số thứ nhất là là 3 còn lại 4 số nguyên tố nếu có 1 số chia cho 3 dư 2 và 1 số chia cho 3 dư 1 ta chọn 2 số đó và số 3 nếu có nhiều hơn 3 số chia 3 có cùng 1 số dư ta cho 3 trong các số đó
vậy với 5 số nguyên tố bất kì lúc nào cũng chọn được 3 số mà tổng của chúng chia hết cho 3

Filed in: Môn Toán, Đề tuyển sinh lớp 10

No comments yet.

Leave a Reply

You must be logged in to post a comment.